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人教版(新)六年级下册 5.数学广角——鸽巢问题

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小学数学审核员

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                    5 数学广角——鸽巢问题

    【教学目标】

    1.引导学生通过观察、猜测、实验推理等活动,经历探究鸽巢问题的过程,
初步了解鸽巢问题,会用鸽巢问题解决简单的生活问题。

    2.培养学生解决简单实际问题的能力。

    3.通过鸽巢问题的灵活运用,展现数学的魅力。

    【重点难点】

    重点:灵活应用鸽巢问题解决实际问题。

    难点:理解鸽巢问题。

    【课时安排】

    建议共分    2 课时:

    数学广角…………………………………………………………………2                             课时

    【知识结构】
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                       第 1 课时  鸽巢问题(1)

    【教学内容】

    最简单的鸽巢问题(教材第            68 页例  1 和第  69 页例  2)。

    【教学目标】

    1.理解简单的鸽巢问题及鸽巢问题的一般形式,引导学生采用操作的方法
进行枚举及假设法探究“鸽巢问题”。

    2.体会数学知识在日常生活中的广泛应用,培养学生的探究意识。

    【重点难点】

    了解简单的鸽巢问题,理解“总有”和“至少”的含义。

    【教学准备】

    实物投影,每组       3 个文具盒和     4 枝铅笔。


    【情景导入】

    教师:同学们,你们在一些公共场所或旅游景点见过电脑算命吗?“电脑
算命”看起来很深奥,只要你报出自己的出生年月日和性别,一按键,屏幕上
就会出现所谓性格、命运的句子。通过今天的学习,我们掌握了“鸽巢问题”
之后,你就不难证明这种“电脑算命”是非常可笑和荒唐的,是不可相信的鬼
把戏了。(板书课题:鸽巢问题)

    教师:通过学习,你想解决哪些问题?

    根据学生回答,教师把学生提出的问题归结为:“鸽巢问题”是怎样的?
这里的“鸽巢”是指什么?运用“鸽巢问题”能解决哪些问题?怎样运用“鸽
巢问题”解决问题?

    【新课讲授】
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    1.教师用投影仪展示例         1 的问题。

    同学们手中都有铅笔和文具盒,现在分小组形式动手操作:把四支铅笔放
进三个标有序号的文具盒中,看看能得出什么样的结论。

    组织学生分组操作,并在小组中议一议,用铅笔在文具盒里放一放。

    教师指名汇报。

    学生汇报时会说出:1         号文具盒放      4 枝铅笔,2    号、3  号文具盒均放       0 枝铅
笔。

    教师:不妨将这种放法记为(4,0,0)。〔板书:(4,0,0)〕

    教师提出:(4,0,0)(0,4,0)(0,0,4,)为一种放法。

    教师:除了这种放法,还有其他的方法吗?教师再指名汇报。学生会有
(4,0,0)(0,1,3)(2,2,0)(2,1,1)四种不同的方法。教师板书。

    教师:还有不同的放法吗?

    教师:通过刚才的操作,你能发现什么?(不管怎么放,总有一个盒子里至
少有  2 枝铅笔。)

    教师:“总有”是什么意思?(一定有)

    教师:“至少”有       2 枝什么意思?(不少于两只,可能是              2 枝,也可能是多于
2 枝)

    教师:就是不能少于         2 枝。(通过操作让学生充分体验感受)

    教师进一步引导学生探究:把             5 枝铅笔放进     4 个文具盒,总有一个文具盒
要放进几枝铅笔?指名学生说一说,并且说一说为什么?教师:把                            4 枝笔放进
3 个盒子里,和把      5 枝笔放进    4 个盒子里,不管怎么放,总有一个盒子里至少有
2 枝铅笔。这是我们通过实际操作发现的这个结论。那么,我们能不能找到一种
更为直接的方法,只摆一种情况,也能得到这个结论呢?

    学生思考——组内交流——汇报
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    教师:哪一组同学能把你们的想法汇报一下?

    学生会说:我们发现如果每个盒子里放                1 枝铅笔,最多放      3 枝,剩下的    1 枝不
管放进哪一个盒子里,总有一个盒子里至少有                   2 枝铅笔。

    教师:你能结合操作给大家演示一遍吗?(学生操作演示)

    教师:同学们自己说说看,同桌之间边演示边说一说好吗?

    教师:这种分法,实际就是先怎么分的?

    学生:平均分。

    教师:为什么要先平均分?(组织学生讨论)

    学生汇报:要想发现存在着“总有一个盒子里一定至少有                         2 枝”,先平均分,余
下 1 枝,不管放在哪个盒子里,一定会出现“总有一个盒子里一定至少有                            2 枝”
。

    这样分,只分一次就能确定总有一个盒子至少有几枝笔了?

    教师:同意吗?那么把        5 枝笔放进    4 个盒子里呢?(可以结合操作,说一说)

    教师:哪位同学能把你的想法汇报一下?

    学生:(一边演示一边说)5         枝铅笔放在      4 个盒子里,不管怎么放,总有一个盒
子里至少有     2 枝铅笔。

    师:把  6 枝笔放进    5 个盒子里呢?还用摆吗?

    生:6 枝铅笔放在      5 个盒子里,不管怎么放,总有一个盒子里至少有                   2 枝铅笔。


    师:把  7 枝笔放进    6 个盒子里呢?把      8 枝笔放进    7 个盒子里呢?把      9 枝笔放进
8 个盒子里呢?……

    教师:你发现什么?
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    学生:铅笔的枝数比盒子数多             1,不管怎么放,总有一个盒子里至少有                2 枝
铅笔。

    教师:你们的发现和他一样吗?(一样)你们太了不起了!同桌互相说一遍。把
100 枝铅笔放进     99 个文具盒里会有什么结论?一起说。

    巩固练习:教材第        68 页“做一做”。

    A 组织学生在小组中交流解答。

    B 指名学生汇报解答思路及过程。

    2.教学例   2。

    ①出示题目:把      7 本书放进    3 个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有
几本书?请同学们小组合作探究。探究时,可以利用每组桌上的                           7 本书。

    活动要求:

    a.每人限独立思考。b.把自己的想法和小组同学交流。c.如果需要动手操
作,可以利用每桌上的          7 本书,要有分工,并要全面考虑问题。(谁分铅笔,谁
当抽屉,谁记录等)d.在全班交流汇报。(师巡视了解各种情况)

    学生汇报。

    哪个小组愿意说说你们的方法?把你们的发现和大家一起分享,学生可能
会有以下方法:

    a.动手操作列举法。

    学生:通过操作,我们把           7 本书放进    3 个抽屉,总有一个抽屉至少放进
3 本书。

    b.数的分解法。

    把 7 分解成三个数,有(7,0),(6,1),(5,2),(4,3)四种情况。
在任何一种情况下,总有一个数不小于                 3。
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    教师:通过动手摆放及把数分解两种方法,我们知道把                        7 本书放进    3 个抽
屉,总有一个抽屉至少放进几本书?(3               本)

    ②教师质疑引出假设法。

    教师:同学们通过以上两种方法,知道了把                   7 本书放进    3 个抽屉,总有一
个抽屉至少放进       3 本书,但随着书的本数越多,数据变大,如:要把                      155 本书
放进  3 个抽屉呢?用列举法、数的分解法会怎么样?(繁琐)我们能不能找到
一种适用各种数据的方法呢?请同学们想想。

    板书:7  本  3 个 2 本……余    1 本(总有一个抽屉里至少有           3 本书)

    8 本 3 个 2 本……余    2 本(总有一个抽屉里至少有           3 本书)

    10 本 3 个 3 本……余    1 本(总有一个抽屉里至少有           4 本书)

    师:2 本、3   本、4  本是怎么得到的?

    生:完成除法算式。

    7÷3=2 本……1    本(商加   1)

    8÷3=2 本……2    本(商加   1)

    10÷3=3 本……1    本(商加   1)

    师:观察板书你能发现什么?

    学生:“总有一个抽屉里的至少有               3 本”,只要用“商+1”就可以得到。

    师:如果把    5 本书放进    3 个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本
书?

    学生:“总有一个抽屉里至少有             3 本”只要用     5÷3=1  本……2   本,用“商
+2”就可以了。
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    学生有可能会说:不同意!先把             5 本书平均分放到       3 个抽屉里,每个抽屉里
先放  1 本,还剩   2 本,这  2 本书再平均分,不管分到哪两个抽屉里,总有一个抽屉
里至少有    2 本书,不是    3 本书。

    师:到底是“商+1”还是“商+余数”呢?谁的结论对呢?在小组里进行研究、
讨论、交流、说理活动。

    可能有三种说法:a.我们组通过讨论并且实际分了分,结论是总有一个抽屉
里至少有    2 本书,不是    3 本书。

    b.把 5 本书平均分放到       3 个抽屉里,每个抽屉里先放           1 本,余下的    2 本可以
在 2 个抽屉里再各放       1 本,结论是“总有一个抽屉里至少有               2 本书”。

    c.我们组的结论是       5 本书平均分放到       3 个抽屉里,“总有一个抽屉里至少有
2 本书”用“商加       1”就可以了,不是“商加          2”。

    教师:现在大家都明白了吧?那么怎样才能够确定总有一个抽屉里至少有几
个物体呢?

    学生回答:如果书的本数是奇数,用书的本数除以抽屉数,再用所得的商加
1,就会发现“总有一个抽屉里至少有商加                 1 本书”了。

    教师讲解:同学们的这一发现,称为“抽屉原理”,“抽屉原理”又称“鸽
笼原理”,最先是由        19 世纪的德国数学家狄里克雷提出来的,所以又称“狄里克
雷原理”,也称为“鸽巢原理”。这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。
“抽屉原理”的应用是千变万化的,用它可以解决许多有趣的问题,并且常常能
得到一些令人惊异的结果。下面我们应用这一原理解决问题。

    提问:尽量把书平均分给各个抽屉,看每个抽屉能分到多少本书,你们能
用什么方式表示这一平均的过程呢?

    学生在练习本上列式:7÷3=2……1。

    集体订正后提问:这个有余数的除法算式说明了什么问题?
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    生:把   7 本书平均放进      3 个抽屉,每个抽屉有两本书,还剩一本,把剩下
的一本不管放进哪个抽屉,总有一个抽屉至少放三本书。

    ③引导学生归纳鸽巢问题的一般规律。

    a.提问:如果把      10 本书放进    3 个抽屉会怎样?13       本呢?

    b.学生列式回答。

    c.教师板书算式:10÷3=3……1(总有一个抽屉至少放                    4 本书)

    13÷3=4……1(总有一个抽屉至少放             5 本书)

    ④观察特点,寻找规律。

    提问:观察     3 组算式,你能发现什么规律?

    引导学生总结归纳出:把某一数量(奇数)的书放进三个抽屉,只要用这
个数除以    3,总有一个抽屉至少放进书的本数比商多一。

    ⑤提问:如果把       8 本书放进    3 个抽屉里会怎样,为什么?

    8÷3=2……2

    学生汇报。可能出现两种情况:一种认为总有一个抽屉至少放                           3 本书;一
种认为总有一个抽屉至少放            4 本书。

    学生讨论。讨论后,学生明白:不是商加余数                    2,而是商加      1。因为剩下两
本,也可能分别放进两个抽屉里,一个抽屉一本,相当于数的分解(3,3,2)。
所以,总有一个抽屉至少放            3 本书。

    ⑥总结归纳鸽巢问题的一般规律。

    要把  a 个物体放进     n 个抽屉里,如果       a÷n=b……c(c≠0),那么一定有
一个抽屉至少放(b+1)个物体。

    【课堂作业】

    教材第   69 页“做一做”。
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    (1)组织学生在小组中交流解答。

    (2)指名学生汇报解答思路及过程。


    【课堂小结】

    通过这节课的学习,你有哪些收获?

    【课后作业】

    完成练习册中本课时的练习。


                        第 1 课时鸽巢问题(1)

    (4,0,0)(0,1,3)(2,2,0)(2,1,1)

    学生铅笔的枝数比盒子数多            1,不管怎么放,总有一个盒子里至少有                2 枝铅
笔。

    5÷2=2……1

    7÷2=3……1

    9÷2=4……1

    要把  a 个物体放进     n 个抽屉里,如果       a÷n=b……c(c≠0),那么一定有
一个抽屉至少放(b+1)个物体。
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                       第 2 课时  鸽巢问题(2)

    【教学内容】

    “鸽巢问题”的具体应用(教材第               70 页例  3)。

    【教学目标】

    1.在了解简单的“鸽巢问题”的基础上,使学生会用此原理解决简单的实
际问题。

    2.培养学生有根据、有条理的进行思考和推理的能力。

    3.通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题,激发学生的学习兴趣,使学
生感受数学的魅力。

    【重点难点】

    引导学生把具体问题转化为“鸽巢问题”,找出这里的“鸽巢”有几个,
再利用“鸽巢问题”进行反向推理。

    【教学准备】

    课件,1   个纸盒,红球、蓝球各           4 个。


    【情景导入】

    教师讲《月黑风高穿袜子》的故事。

    一天晚上,毛毛房间的电灯突然坏了,伸手不见五指,这时他又要出去,
于是他就摸床底下的袜子,他有蓝、白、灰色的袜子各一双,由于他平时做事
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随便,袜子乱丢,在黑暗中不知道哪些袜子颜色是相同的。毛毛想拿最少数目
的袜子出去,在外面借街灯配成相同颜色的一双。你们知道最少拿几只袜子出
去吗?

    在学生猜测的基础上揭示课题。

    教师:这节课我们利用鸽巢问题解决生活中的实际问题。

    板书:“鸽巢问题”的具体应用。

    【新课讲授】

    1.教学例   3。

    盒子里有同样大小的红球和蓝球各               4 个,要想摸出的球一定有           2 个同色的,
最少要摸出几个球?

    (出示一个装了       4 个红球和    4 个蓝球的不透明盒子,晃动几下)

    师:同学们,猜一猜老师在盒子里放了什么?

    (请一个同学到盒子里摸一摸,并摸出一个给大家看)

    师:如果这位同学再摸一个,可能是什么颜色的?要想这位同学摸出的球,
一定有   2 个同色的,最少要摸出几个球?

    请学生独立思考后,先在小组内交流自己的想法,验证各自的猜想。

    指名按猜测的不同情况逐一验证,说明理由。

    摸 2 个球可能出现的情况:1          红  1 蓝;2  红;2  蓝

    摸 3 个球可能出现的情况:2          红  1 蓝;2  蓝 1 红;3  红;3   蓝

    摸 4 个球可能出现的情况:2          红  2 蓝;1  红 3 蓝;1  蓝  3 红;4  红;4  蓝

    摸 5 个球可能出现的情况:4          红  1 蓝;3  蓝 2 红;3  红  2 蓝;4  蓝 1 红;
5 红;5  蓝
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    教师:通过验证,说说你们得出什么结论。

    小结:盒子里有同样大小的红球和蓝球各                  4 个。想要摸出的球一定有           2 个
同色的,最少要摸        3 个球。

    2.引导学生把具体问题转化为“鸽巢问题”。

    教师:生活中像这样的例子很多,我们不能总是猜测或动手试验吧,能不
能把这道题与前面所讲的“鸽巢问题”联系起来进行思考呢?

    思考:

    a.“摸球问题”与“鸽巢问题”有怎样的联系?

    b.应该把什么看成“鸽巢”?有几个“鸽巢”?要分放的东西是什么?

    c.得出什么结论?

    学生讨论,汇报。

    教师讲解:因为一共有红、蓝两种颜色的球,可以把两种“颜色”看成两
个“鸽巢”,“同色”就意味着“同一个鸽巢”。这样,把“摸球问题”转化
“鸽巢问题”,即“只要分的物体个数比鸽巢多,就能保证有一个鸽巢至少有
两个球”。

    从最特殊的情况想起,假设两种颜色的球各拿了                     1 个,也就是在两个鸽巢
里各拿了一个球,不管从哪个鸽巢里再拿一个球,都有两个球是同色,假设最
少摸  a 个球,即(a)÷2=1……(b)当            b=1 时,a  就最小。所以一次至少应拿
出 1×2+1=3  个球,就能保证有两个球同色。

    结论:要保证摸出有两个同色的球,摸出的数量至少要比颜色种数多一。

    【课堂作业】

    先完成第    70 页“做一做”的第        2 题,再完成第      1 题。

    (1)学生独立思考。
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    (提示:把什么看做鸽巢?有几个鸽巢?要分的东西是什么?)

    (2)同桌讨论。

    (3)汇报交流。

    教师讲解:第      2 题:因为一共有红、黄、蓝、白四种颜色的球,可以把四
种“颜色”看成四个“鸽巢”,“同色”就意味着“同一鸽巢”。把“摸球问
题”转化成“鸽巢问题”,即“只要分的物体个数比鸽巢数多一,就能保证至
少有一个鸽巢有两个球,摸出的球的数量至少比颜色的种数多一,所以至少取
5 个球,才能保证有两个同色球。

    第 1 题:他们说的都对,因为一年中最多有                 366 天,所以把     366 天看做
366 个鸽巢,把     370 名学生放进     366 个鸽巢里,人数大于鸽巢数,因此总有一
个鸽巢里至少有两个人,即他们的生日是同一天。1                      年中有十二个月,如果把
12 个月看作是十二个鸽巢,把            49 名学生放进     12 个鸽巢里,49÷12=4……1,
因此总有一个鸽巢里至少有            5(即   4+1)个人,也就是至少有          5 个人的生日在同
一个月。

    教师:上课时老师讲的故事你们还记得吗?(课件出示故事)谁能说说在
外面借街灯配成同颜色的一双袜子,最少应该拿几只出去?

    【课堂小结】

    本节课你有什么收获?

    【课后作业】

    完成练习册中本课时的练习。


                        第 2 课时鸽巢问题(2)

    要保证摸出两个同色的球,摸出的球的数量至少要比颜色的种类多一。
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